Olmak ya da Olmamak — ve Eğer Olmaksa, Kaç Tane?

Toprak katmanları içindeki hayvan kemik parçaları ve tafonomik filtreyi çağrıştıran saydam katmanlar.

Shakespeare’in en ünlü cümlesi, aslında istatistiğin en temel dağılımının kusursuz bir tarifidir. Bir arkeozooloğun kemik kutusu bunu herkesten iyi bilir.

Bir prensin ikilemi, bir matematikçinin sayısı

Hamlet sahnenin ortasında durur ve dört yüz yıldır dinlediğimiz cümleyi kurar: “Olmak ya da olmamak, işte bütün mesele bu.” Bunu genellikle bir varoluş krizinin özeti olarak okuruz. Ama cümleyi biraz eğip bakarsanız, altından bambaşka bir şey çıkar: kusursuz bir olasılık tanımı.

Çünkü Hamlet’in söylediği şey, yapısal olarak şudur: iki sonuç var. Sadece iki. Üçüncüsü yok. Ve bunlardan biri mutlaka gerçekleşecek.

Shakespeare’den yaklaşık bir yüzyıl sonra İsviçreli matematikçi Jacob Bernoulli aynı yapıya baktı ve eksik olan tek şeyi ekledi: bir sayı. “Olmak”ın olasılığına p dersek, “olmamak”ınki zorunlu olarak 1 − p olur. Hepsi bu. Tek parametre, tek soru, iki sonuç.

İstatistikte buna bugün Bernoulli deneyi diyoruz ve bu, olasılık teorisinin en küçük yapı taşıdır — daha aşağısı yoktur.

Shakespeare soruyu sordu; Bernoulli o soruya bir sayı verdi.

Sahada bunun adı: var/yok verisi

Buraya kadar hoş bir benzetme gibi görünüyor. Ama benim çalıştığım alanda bu bir benzetme değil, doğrudan bir veri türünün adı.

Anadolu’nun Holosen dönemi memelileri üzerine çalışıyorum: höyüklerden, mağara dolgularından, kazı tabakalarından çıkan hayvan kemikleri. Elimdeki verinin büyük kısmı olabilecek en sade biçimdedir: “Bu bağlamda bu tür var mı, yok mu?”

İstatistikte bunun adı var/yok verisi (presence–absence data). Ve dikkat edin: her bir bağlam — bir tabaka, bir çöp çukuru, bir yapı katı — tam olarak bir Bernoulli deneyidir. Yaban sığırı bu tabakada var mı? Evet ya da hayır. Üçüncü şık yok.

Şimdi bunu n tane bağlamda tekrarlayın. “Kaç bağlamda bu türe rastladım?” sorusunun cevabı artık tek bir evet/hayır değil, 0 ile n arasında bir sayıdır. Ve bu sayının dağılımının adı binom dağılımıdır.

Bir örnek: bir höyüğün otuz farklı bağlamını incelediğinizi ve yaban eşeğine bunların yedisinde rastladığınızı düşünün. Elinizdeki “7”, otuz kez sorulmuş bir evet/hayır sorusunun toplamıdır. Bu sayının kendisi de bir olasılık dağılımına sahiptir; yani başka bir kazı sezonunda pekâlâ 5 ya da 10 çıkabilirdi. İstatistik tam olarak şunu yapar: “7 gördüm” ile “demek ki p yaklaşık dörtte bir” arasındaki köprüyü kurar ve bu köprünün ne kadar sallandığını da söyler.

Binom, çoğunlukla sanıldığı gibi ayrı ve gizemli bir yaratık değildir. Binom, sadece n tane “olmak ya da olmamak”ın toplamıdır. Hamlet’i n kez sahneye çıkarırsanız, elinizde bir binom dağılımı olur.

Tabii altta küçük puntoyla yazılmış bir madde var: binom, bütün denemelerin birbirinden bağımsız olduğunu ve hepsinde p’nin aynı kaldığını varsayar. Bu varsayımı aklınızın bir köşesine yazın; yazının sonunda ona döneceğiz — ve onu kıracağız.

Bir kemiğin geçmek zorunda olduğu kapılar

Şimdi işin en güzel yerine geliyoruz.

Diyelim masamın üzerinde sekiz bin yıllık bir koyun aşık kemiği duruyor. Bu kemiğin oraya gelmiş olması tam olarak ne demek?

Şöyle düşünün: o kemik, art arda dizilmiş bir dizi kapıdan geçti ve her kapıda aynı soruyla karşılaştı — olmak ya da olmamak. Hayvanla karşılaşıldı mı, avlanabildi mi? Gövde ya da bir parçası yerleşime taşındı mı, yoksa öldüğü yerde mi bırakıldı? Kemik yerleşimde kaldı mı, yoksa köpekler mi götürdü? Toprakta yüzyıllara dayandı mı; asidik toprak, don-çözülme döngüsü, çiğnenme onu öğütmedi mi? Ve nihayet: kazıda tam o metrekare açıldı mı, elek gözü o parçayı tuttu mu?

Her kapıyı iki sonuçlu bir aşama gibi düşünebiliriz. Elimdeki kemik, bütün bu kapılarda “olmak” demiş olan kemiktir. Bu zincirin olasılığı da kapıların bağımsız olmasını gerektirmez; her aşamanın, kendinden öncekiler gerçekleşmişken sahip olduğu koşullu olasılıklar üzerinden ilerler.

Ve şimdi ürkütücü kısım: bu olasılıklar toplanmaz, zincir boyunca çarpılır. p₁ × p₂ × p₃ × … Her biri tek başına gayet makul görünen sayılar bile — diyelim 0,5 ve 0,4 ve 0,3 — çarpıldıklarında hızla erir. Birkaç aşama sonra toplam olasılık hızla küçülebilir.

Bu çarpımın bir adı var: tafonomi. Bir canlının ölümüyle laboratuvar masasına gelişi arasındaki bütün süreçlerin incelenmesi. Kısacası tafonomi, geçmişle aramızdaki filtredir.

Somut örnek: büyük memelilerin uzun kemikleri, kalın ve yoğun duvarları sayesinde bu kapıların çoğunu geçebilir. Buna karşılık küçük, ince ve daha kırılgan bazı kuş kemik elementleri bu aşamalarda daha yüksek kayıp riski taşır. Bir kazı raporunda “kuş yok” yazması, geçmişte kuş olmadığı anlamına gelmez; kuş kalıntılarının korunma ve bulunma zincirinde daha çok kayba uğramış olabileceği anlamına da gelebilir. Aynı şey elek göz açıklığı için de geçerli: daha ince mesh ve uygun recovery yöntemleriyle karşılaştırıldığında, daha büyük elek göz açıklıkları küçük fauna ve balık kalıntılarının bir bölümünün kaçmasına ve assemblage temsilinin değişmesine yol açabilir. Arkeolojide “yokluk”, çoğu zaman geçmişin değil, yöntemin ifadesidir.

Nadir olaylar ülkesi: Poisson

Şimdi iki sayıyı yan yana koyalım. Fırsat sayısı çok büyük: bir höyükte yüzlerce yıl boyunca on binlerce hayvan, milyonlarca kemik parçası. Ama her bir parçanın bize ulaşma olasılığı çok küçük — az önceki o çarpım.

Çok sayıda deneme, her birinde minicik olasılık. İstatistikte bu köşenin özel bir sakini vardır: Poisson dağılımı. Poisson aslında binomun bu köşedeki limitidir; n büyürken ve p küçülürken, n × p makul bir ortalamada sabit kalıyorsa binom sessizce Poisson’a dönüşür.

Dikkat edin, sorumuz da değişti. Artık “var mı, yok mu?” sormuyoruz; “kaç tane?” soruyoruz. Var/yok sorusu bizi binoma götürür, sayım sorusu Poisson’a.

Poisson’un çok hoş bir imzası vardır ve tek satıra sığar:

ortalama = varyans

Yani ideal Poisson modelinde olayların ortalama sıklığını biliyorsanız, saçılımlarını da biliyorsunuz demektir. Tek parametreli, zarif, mütevazı bir dağılım.

Ama burada bir uyarı şart: Poisson bir doğa yasası değil, belirli koşullar altında geçerli olan bir yaklaşımdır. O koşullar şunlar: olaylar birbirinden bağımsız olmalı ve olay hızı sabit kalmalı. Kulağa masum geliyor. Kemik verisinde ise ikisi de neredeyse hiçbir zaman doğru değildir.

Ama kemikler Poisson’un istediği gibi davranmaz

Ve tam burada gerçek veri söze karışır.

Kemik sayımlarının ortalamasına ve varyansına baktığınızda sıklıkla aynı şeyi görürsünüz: varyans ortalamadan büyüktür. Çoğu zaman epeyce büyüktür.

Bunun adı aşırı-saçılım (overdispersion) ve iki temel sebebi vardır — ikisi de tamamen arkeolojiktir.

Birincisi, korunma hızı sabit değildir. Poisson bütün fırsatların aynı p’yi paylaştığını varsayar. Oysa bir çöp çukurunun kimyası ile yanmış bir yapı katının kimyası aynı değildir; bir sığır femuru ile bir tavşan kaburgası aynı dayanıklılıkta değildir. p, tabakadan tabakaya ve türden türe sistematik olarak değişir.

İkincisi ve daha sinsi olanı: kemikler tek tek gelmez. Bir hayvan kesilir, gövdesinin yarısı tek seferde aynı çukura atılır. Bir sürü hastalıktan kırılır. Tek bir olay, aynı anda kırk parça bırakabilir. Yani denemeler bağımsız değildir; kümelenir. Sayımınız aslında “kaç kemik” değil, “kaç olay × olay başına kaç kemik”tir.

Böyle bir veri için negatif binom dağılımı güçlü ve doğal model adaylarından biridir. Negatif binomu, Poisson’un esnetilmiş hali gibi düşünebilirsiniz: Poisson’un tek ve sabit ortalamasını alır, onun kendisinin de bağlamdan bağlama değişmesine izin verirsiniz. Ortaya aynı ortalamayı taşıyan ama çok daha geniş omuzlu bir dağılım çıkar — hem o kalabalık sıfırları hem de beklenmedik derecede büyük yığınları rahatça açıklayabilen bir dağılım.

Arkeozoolojik sayımlarda bu model çoğu zaman yararlı bir adaydır; ama seçimin veri üretim süreci, model uyumu ve tanı kontrolleriyle sınanması gerekir. Çünkü dünyanın gerçekten nasıl çalıştığını ancak veriyle konuşunca anlayabiliriz.

Ama en derin nokta bu bile değil. En derin nokta şu:

Kazıdan çıkan sayı, geçmişteki gerçek bolluk değildir. Kabaca, gerçek bolluk ile bütün o hayatta kalma olasılıklarının çarpımıdır.

Yani elimizdeki her tablo, geçmişin kendisi değil; ağır filtrelenmiş, sistematik olarak çarpıtılmış bir gölgesidir. Üstelik bu filtre rastgele de değildir — belirli türleri, belirli boyutları, belirli bağlamları kayırır. İki türün oranını karşılaştırdığınızı sandığınız yerde, aslında iki farklı filtrenin çıktısını karşılaştırıyor olabilirsiniz.

Hamlet’in tezi

Bütün bunları bir araya getirince, sahanın iki temel sorusunun iki temel dağılıma karşılık geldiğini görürsünüz. “Var mı, yok mu?” — Bernoulli, ve n bağlamda tekrarlanınca binom. “Kaç tane?” — Poisson, ve gerçek veride çoğu zaman negatif binom.

Hamlet’e kalsaydı tez şöyle biterdi: olmak ya da olmamak — ve eğer olmaksa, kaç tane?

Şaka bir yana, buradan çıkan mesaj ciddidir. Bir kemik topluluğu, geçmişin tarafsız bir kaydı değil; arka arkaya gelen bir dizi olasılık kapısından sağ çıkabilmiş olanların listesidir. Bu yüzden sayımları okurken temkinli olmak, yokluğu yokluk sanmamak ve modelimizin varsayımlarını — bağımsızlık, sabit korunma hızı — nerede kırdığımızı açıkça söylemek zorundayız. İstatistik bu filtreyi bizim yerimize kaldırmaz; ama en azından onu görünür kılar ve belirsizliğimizi dürüstçe ölçmemize izin verir.